Биография Алексея Позднякова была типичной для поколения молодых советских людей, очарованных романтикой военного дела и стремившихся защитить свою Родину от наседавшего со всех сторон врага.
Он родился 26 февраля 1916 года в селе Тулиновка Тамбовского района в простой рабочей семье. После смерти матери в двухлетнем возрасте с отцом и другими членами семьи переехал в село Дуплято-Маслово Знаменского района. Здесь прошло его детство, здесь он пошёл в школу. Окончил 7 классов, а потом первый курс техникума механизации сельского хозяйства. Работал электромонтёром на одном из местных предприятий.
Тридцатые годы были грозовыми для мира. В воздухе витала война, вся Европа и часть Азии были охвачены пламенем противостояния. В Советском Союзе большое внимание уделялось довоенной подготовке молодёжи. Занятия стрелковым спортом, как и в целом спортом, были повсеместным, но особую роль играл Осавиахим — предшественник ДОСААФ. Именно Осавиахим привнёс полётную романтику в молодёжную среду. Парни и девушки с увлечением осваивали азы управления самолётами, учились парашютному делу.
Алексей Поздняков, атлетически сложенный, с прекрасным зрением как никто другой подошёл для авиации. В 1938 году он окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. И по окончании школы получил направление на службу в ВВС. Алексей служил в частях ВВС на Дальнем Востоке, где было очень неспокойно: японские милитаристы вторглись в Китай и Монголию. Бои на Халхин-Голе стали кульминацией противоборства Советского Союза захватническим планам японских экспансионистов.
После Дальнего Востока путь Алексея Позднякова продолжился в полном соответствии со строчкой из песни предвоенной поры — «Дан приказ ему на Запад…» Он получает назначение на западные рубежи страны и становится участником советско-финляндской войны 1939–1940 годов.
Начало Великой Отечественной войны Алексей Поздняков встретил в рядах Красной Армии и с первых дней принял участие в воздушных боях с немецко-фашистскими захватчиками.
Уже к сентябрю 41-го командир звена 147-го истребительного авиационного полка лейтенант Алексей Поздняков совершил 120 боевых вылетов на штурм и бомбардировку живой силы и техники противника. В воздушных боях проявил личное мужество, высокий профессионализм и сбил несколько вражеских самолётов.
Затем продолжил воевать в том же полку (с 4 апреля 1942 года — 20-й гвардейский истребительный авиаполк) в должностях командира эскадрильи и штурмана полка.
Алексей Поздняков принадлежал к той когорте советских военных лётчиков, которые наводили ужас на противника — ведь для красноармейских покорителей неба не было невыполнимых заданий, они отличались отчаянным героизмом и не боялись глядеть смерти в лицо.
8 апреля 1942 года Алексей Поздняков вылетел во главе шестёрки истребителей P-40 на Мурманск. Командованием была поставлена задача: отразить налёты вражеской авиации на этот важнейший морской порт, куда приходили суда с необходимыми для фронта техникой, оружием, продовольствием.
В районе посёлка Ристикент советские лётчики перехватили 15 немецких бомбардировщиков Ju-87 в сопровождении 5 истребителей Me-110. Разгорелся неравный воздушный бой. В первой же атаке Алексей Поздняков сбил «Мессершмитт». Другой сбил таранным ударом гвардии лейтенант Хлобыстов.
Но вражеские самолёты продолжали рваться к Мурманскому порту. Главной задачей для советских асов стало не допустить к порту немецкие бомбардировщики, и наши лётчики обрушили на них свои атаки.
Бросив как попало бомбы, немцы стали уходить на свои аэродромы. Преследуя их, Алексей Поздняков в группе с Хлобыстовым и гвардии лейтенантом Фатеевым подожгли ещё один «Юнкерс».
Неожиданно из облаков выскочила ещё восьмёрка «Мессершмиттов». Поздняков повёл на них свою группу в лобовую атаку. Когда головные машины были уже рядом, враг не выдержал и попытался уйти в сторону, но не успел. От лобового тарана «Мессершмитт» разлетелся на куски.
Во время тарана капитан Алексей Поздняков погиб.
К моменту гибели Алексей Поздняков выполнил 222 боевых вылета. Провёл 11 воздушных боёв, сбил 2 самолёта лично и 6 — в группе.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 июня 1942 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте, борьбу с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство гвардии капитану Позднякову Алексею Павловичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Одновременно он был награждён орденом Ленина (посмертно). В 1941 году он был награждён орденом Красного Знамени.
Останки Алексея Позднякова были захоронены в посёлке Мурмаши Кольского района Мурманской области.
Именем нашего земляка — Героя Великой Отечественной войны — названа улица в Мурманске.