Алексей Аскаров родился в 1901 году в Тифлисе, столице Грузии, в семье рабочего. По национальности — черкес. В 1907 году остался сиротой и воспитывался тётей. Образование начальное домашнее.
В 1913 году перебрался в Среднюю Азию и поселился в Самарканде. Здесь, в цветущем прекрасном городе, Аскаров выучился на подмастерье кузнеца. Его жизнь, как и всех его сверстников, круто изменилась в 1917 году. Сначала Февральская, потом Октябрьская революции привели к распаду Российской империи. Начавшаяся Гражданская война, в свою очередь, привела к тому, что миллионы людей сделали свой выбор — за красных или за белых, и с оружием в руках боролись за свои идеалы. Свой выбор сделал и Алексей Аскаров.
В феврале 1918 года, когда Алексею Аскарову было всего 17 лет, он добровольно вступил в Самаркандский отряд Красной гвардии.
— Летом 1918 года по первой мобилизации я ушёл в только что созданную Красную армию и был зачислен в 241-й Крестьянский полк 27-й стрелковой дивизии. Участвовал в боях с отрядами белой армии, направлявшихся из Персии в Среднюю Азию, с регулярными войсками армии Колчака. В боях за освобождение города Татарск (Новосибирская область) был тяжело ранен в левую руку. Несколько месяцев лечился в госпитале в городе Троицк (Челябинская область), был комиссован. Но добровольцем опять вступил в армию, участвовал в боях с белополяками на Западном фронте, в боях под Минском и Барановичами. Был ранен, после выздоровления был направлен в артиллерийский дивизион, который дислоцировался в городе Тамбове. После демобилизации в 1922 году остался жить в Тамбове, — вспоминал позднее Аскаров.
В Тамбове Алексей Аскаров поступил на работу в паровозное депо станции Тамбов. Трудился смазчиком, кочегаром, помощником машиниста. Затем был переведён в Котовск, где работал машинистом паровоза. В 1929 году Алексей Аскаров, как человек с активной жизненной позицией, был выдвинут на работу в сельском хозяйстве в числе 25-тысячников. А спустя три года, в 1932 году, был направлен в систему торговли, работал снабженцем завода «Комсомолец». Затем на два года вернулся на родную железную дорогу, работал на станции Лазо в Приморье.
В 1938 году был мобилизован и направлен в Мурманский порт, где работал машинистом пароходной военной флотилии. В годы Советско-финляндской войны служил машинистом на пароходе. После окончания войны в 1940 году вернулся в Тамбов и работал помощником машиниста на заводе «Комсомолец».
Когда началась Великая Отечественная война, Аскаров не был призван в ряды Красной армии — у машинистов была бронь. Но и остаться в стороне Алексей Алексеевич не хотел, хотя к тому времени ему уже исполнилось 40 лет, имелись ранения, да и трудовая деятельность уже подорвала здоровье.
Однако в июне 1943 года Аскаров уходит добровольцем в Красную армию. На фронте он с августа 1943 года. Воевал сапёром в составе 1-го Украинского фронта, в 1031-м стрелковом полку 280-й стрелковой дивизии.
Алексей Аскаров отличился при форсировании Днепра и переправе полка через реку Тетерев в сентябре 1943 года у Чернобыля.
Как отмечалось в представлении к награждению званием Герой Советского Союза: «Сапёр 1031-го стрелкового полка (280-я стрелковая дивизия, 60-я армия, Центральный фронт) красноармеец Алексей Аскаров особо отличился при форсировании реки Днепр 25 сентября 1943 года в районе села Окуниново Козелецкого района Черниговской области Украины. Умелый воин-сапёр ремонтировал рыбачьи лодки, сколачивая плоты, и под ураганным огнём противника успешно переправил несколькими рейсами группы бойцов и боеприпасы на противоположный берег Днепра для захвата и удержания плацдарма».
Вместе с младшим сержантом Маргуляном Аскаров организовал сбор и ремонт рыбачьих лодок, сколачивая плоты. «В ночь на 25 сентября в районе села Окуниново участвовал в переправе под огнём противника первых групп пехоты на правый берег реки. В следующих рейсах доставил на плацдарм ещё одну группу бойцов и боеприпасы. Когда Маргулян был убит и его лодка оказалась неуправляемой, зацепив её багром, доставил её на наш берег», — отмечалось в документе советского командования.
А уже 30 сентября 1943 года красноармеец Аскаров принимал активное участие в переправе подразделений 1031-го стрелкового полка через реку Тетерев в Чернобыльском районе Киевской области Украины.
Родина высоко оценила воинский подвиг Алексея Аскарова. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 октября 1943 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм красноармейцу Аскарову Алексею Алексеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны старшина Алексей Аскаров демобилизовался и вернулся в ставший родным Тамбов. Работал мастером цеха на заводе «Комсомолец». С 1947 года — диспетчером транспортного цеха завода. На заслуженный отдых вышел в 1957 году.
Герой Советского Союза Алексей Алексеевич Аскаров скончался 12 октября 1971 года.